☆ Loi géométrique

Soit  $(X_n)$  une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de même paramètre  $p\in [0,1]$ .
On considère $Y$  la variable aléatoire qui donne le rang du premier succès de cette succession d'expériences  indépendantes.
On dit alors que  $Y$  suit la loi géométrique de paramètre  $p$ .

1. Justifier que, pour tout entier naturel non nul $k$ , on a   $P(Y=k)=p(1-p{)}^{(}k-1)$ .
2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul  $k$ , on a  $P(Y⩽k)=1-(1-p{)}^k$ .
3. Déterminer la valeur de  $k$  à partir de laquelle on a  $P(Y⩽k)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$ .
4. Que vaut  ${\displaystyle \underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(Y⩽k)}$  ? Comment interpréter ce résultat ?